Halaman
193MATEMATIKABentuk AljabarBab 3Sumber:https://matematohir.wordpress.com/2014/01/22/penerapan-konsep-aljabar-dalam-pemecahan-masalah/Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi, sedangkan Pak Tohir mempunyai kebun jeruk berbentuk persegi panjang. Ukuran panjang kebun jeruk Pak Tohir 20 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Lebar kebun Pak Tohir 15 m kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Jika diketahui kedua luas kebun Pak Idris dan Pak Tohir adalah sama, maka tentukan luas kebun apel Pak Idris?Permasalahan yang terdapat pada kasus di atas dapat diselesaikan dengan model matematika yang dinyatakan dalam bentuk aljabar. Untuk memahami lebih lanjut mengenai bentuk aljabar, pelajari uraian bab ini dengan seksama. • Koefisien• Variabel• KonstantaK ata Kunci• Suku • Suku sejenis • Bentuk aljabar sederhana.
194Kelas VII SMP/MTsSemester 11.Mengenal bentuk aljabar dari masalah kontekstual2.Menjelaskan pengertian variabel, konstanta, suku, dan suku sejenis3.Mengamati penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar yang disajikan dalam bentuk tabel4.Mengamati perkalian dan pembagian bentuk aljabar yang disajikan dalam bentuk tabel5.Menerapkan operasi hitung pada bentuk aljabar untuk menyelesaikan soalPB engalamanelajar3.5Menjelaskan bentuk aljabar dan melakukan operasi pada bentuk aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian)4.5Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk aljabar dan operasi pada bentuk aljabarKD ompetensiasar
195PK etaonsepOperasi AljabarPenyederhanaan Bentuk AljabarPenguranganPerkalianPembagianPenjumlahanBentuk SimbolikBentuk Verbal
196Muḥammad bin Musa al-Khawarizmi (780 – 850) M biasa disebut Al-Khawarizmi adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia. Beliau lahir sekitar tahun 780 di Khawarizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 di Baghdad Irak. Selama hidupnya, Al-Khawarizmi bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad, yang didirikan oleh Khalifah Bani Abbasiyah Al-Ma’mun, tempat ia belajar ilmu alam dan matematika, termasuk mempelajari terjemahan manuskrip Sanskerta dan Yunani.Kontribusi Al-Khawarizmi tidak hanya berdampak pada matematika saja, tetapi juga dalam kebahasaan. Kata algoritma diambil dari kata Algorismi, pelatinan dari nama Al-Khawarizmi. Nama Al-Khawarizmi juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismoyang berarti digit. Di Inggris menggunakan istilah algoritma, sedangkan di Spanyol guarismo, dan algarismo di Portugal.Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau yang berjudul “al-Kitabal-mukhtasarfihisabal-jabrwa’l-muqabala”atau “Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapkan dan Menyeimbangkan” yang ditulis pada tahun 820 M. Buku pertama Al-Khawarizmi yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dikenal sebagai Liber algebrae et almucabala oleh Robert dari Chester (Segovia, 1145) dan juga oleh Gerardus dari Cremona pada abad ke-12.Karena pengaruhnya yang besar di bidang aljabar, Al Khawarizmi dijuluki sebagai Bapak Aljabar. Namun, julukan itu diberikan pula pada Diophantus, seorang ilmuwan dari Yunani kuno. Al Khawarizmi diperkirakan meninggal sekitar 850 Masehi. Namun, karya-karya besarnya masih terus berkembang dan banyak dipelajari hingga saat ini.Tauladan yang bisa diambil dari seorang Al Khawarizmi antara lain:1.Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi tentang ilmu pengetahuan, sehingga bisa menemukan karya-karya yang dikenal dan bermanfaat bagi banyak orang.2.Masalah yang rumit bisa diselesaikan asalkan kita mau berusaha dengan sungguh-sungguh. Seperti Al Khawarizmi beliau memecahkan masalah aljabar dengan menyederhanakannya.Meskipun beliau sudah meninggal, namun karya-karya beliau, khususnya tentang aljabar masih dikenal hingga saat ini. “Apakah itu aljabar?” Untuk mempelajari lebih lanjut tentang materi aljabar, ikuti kegiatan pembelajaran berikut.Sumber:wikimedia.org/wikipediaMuhammad bin Musa al-Khawarizmi(780 - 850)
197MATEMATIKAMengenal Bentuk AljabaregiatanK 3.1Operasi Bentuk AljabarBu Halimah mempunyai sekeranjang apel. Bu Halimah ingin membagikan apel yang ia miliki tersebut kepada setiap orang yang ia temui. Setengah keranjang ditambah satu apel untuk orang pertama. Kemudian setengah dari sisanya ditambah satu, ia berikan kepada orang kedua yang ia temui. Selanjutnya, setengah dari sisanya ditambah satu, diberikan kepada orang ketiga yang ia temui. Sekarang, Bu Halimah hanya memiliki satu apel untuk ia makan sendiri. Tentukan banyak apel semula. Kalian mungkin bisa memecahkan permasalahan tersebut dengan cara mencoba-coba dengan suatu bilangan. Namun berapa bilangan yang harus kalian coba, tidak jelas. Cara tersebut terlalu lama, tidak efektif, dan terkesan kebetulan.Kalian bisa memecahkan persoalan tersebut dengan cara memisalkan banyak apel mula-mula dalam keranjang dengan suatu simbol. Lalu kalian bisa membuat bentuk matematisnya untuk memecahkan permasalahan tersebut. Bentuk tersebut selanjutnya disebut dengan bentuk aljabar, dan operasi yang digunakan untuk memecahkan disebut operasi aljabar. Untuk lebih mengenal tentang bentuk dan operasi aljabar, mari mengikuti pembahasan berikut.Sumber: KemdikbudGambar 3.1 Ibu Halimah sedang membagikan sekeranjang apel
198Kelas VII SMP/MTsSemester 1AyoKita AmatiMasalah3.1Suatu ketika terjadi percakapan antara Pak Erik dan Pak Tohir. Mereka berdua baru saja membeli buku di suatu toko grosir. Erik : “Pak Tohir, kelihatannya beli buku tulis banyak sekali.”Tohir: “Iya, Pak. Ini pesanan dari sekolah saya. Saya beli dua kardus dan 3 buku. Pak Erik beli apa saja?”Erik: “Saya hanya beli 5 buku Pak. Buku ini untuk anak saya yang kelas VII SMP.”Dalam percakapan tersebut terlihat dua orang yang menyatakan banyak buku dengan satuan yang berbeda. Pak Tohir menyatakan jumlah buku dalam satuan kardus, sedangkan Pak Erik langsung menyebutkan banyak buku yang ia beli dalam satuan buku.Alternatif Pemecahan MasalahTabel 3.1 Bentuk aljabar dari Masalah 3.1PembeliPak TohirPak ErikMembeli2 Kardus buku dan 3 Buku5 BukuBentuk Aljabar2x + 35Pada Tabel 3.1 di atas, simbol x menyatakan banyak buku yang ada dalam kardus.
199MATEMATIKASimbol x tersebut bisa mewakili sebarang bilangan, yakni seperti berikut.Jika x = 10, maka 2x + 3 = 2 × 10 + 3 = 20 + 3 = 23Jika x = 15, maka 2x + 3 = 2 × 15 + 3 = 30 + 3 = 33Jika x = 20, maka 2x + 3 = 2 × 20 + 3 = 40 + 3 = 43Jika x = 40, maka 2x + 3 = 2 × 40 + 3 = 80 + 3 = 83Jika x = 50, maka 2x + 3 = 2 × 50 + 3 = 100 + 3 = 103Nilai pada bentuk aljabar di atas bergantung pada nilai x.Di sekitar kita juga beberapa orang seringkali menyatakan banyaknya suatu benda tertentu dengan tidak menyebutkan satuan benda tersebut. Akan tetapi, mereka menggunakan satuan kumpulan dari jumlah benda tersebut. Misalkan satu karung beras, satu keranjang apel, satu keranjang jeruk, dan lain-lain. Untuk lebih memahami tentang bentuk-bentuk aljabar, mari kita amati dan lengkapi bentuk-bentuk aljabar pada Tabel 3.2 berikut. Dalam suatu kotak terdapat beberapa bola, sedangkan dalam suatu tabung terdapat beberapa bola dalam jumlah yang lain.Misalkan:x menyatakan banyak bola dalam satu kotaky menyatakan banyak bola dalam satu tabung“Tiapkotakberisiboladenganjumlahsama”“Tiaptabungberisiboladenganjumlahsama”Tabel 3.2 Bentuk AljabarNo.GambarBentuk AljabarKeterangan1.22 bola2.x1 kotak bola3.x + xAtau2x2 kotak bola4.2x + 42 kotak bola dan 4 bola
200Kelas VII SMP/MTsSemester 15.2x + y + 42 kotak bola, 1 tabung bola, dan 4 bola6.2x + 3y + 62 kotak bola, 3 tabung bola, dan 6 bola7.( ... )( ... )
201MATEMATIKAAyo KitaMenanya??Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan bentuk aljabar yang disajikan pada kegiatan mengamati.Contoh pertanyaan:1.Pada kasus Tabel 3.1, nilai x menyatakan banyak kardus, bukankah banyak buku dalam kardus tersebut sudah pasti sama? Apakah masih dapat dinyatakan bentuk aljabarnya dalam simbol (variabel) x?2.Apakah suatu variabel yang boleh digunakan hanya x dan y saja?3.Pada kasus Tabel 3.2, berapakah nilai x dan y yang bisa disubtitusikan pada bentuk aljabar tersebut?Ayo KitaMenggali Informasi+=+Dalam kegiatan pengamatan, kalian telah mengamati beberapa ilustrasi bentuk-bentuk aljabar. Pada Tabel 3.1, banyak buku dalam suatu kardus dinyatakan dengan simbol x. Pada Tabel 3.2, banyak bola dalam suatu kotak dinyatakan dengan simbol x dan banyak bola dalam suatu tabung dinyatakan dengan simbol y. Bentuk-bentuk tersebut dinamakan dengan bentuk aljabar. Kalian boleh menggunakan simbol yang lain untuk menyatakan bentuk aljabar. Pada kegiatan pengamatan, kita mengenal beberapa bentuk aljabar, seperti : 2, x; 2x; 2x + 4, 2x + 3y + 7. Bentuk-bentuk yang dipisahkan oleh tanda penjumlahan disebut dengan suku. Berikut nama-nama bentuk aljabar berdasarkan banyaknya suku. »2, x, dan 2x disebut suku satu atau monomial»2x + 4 disebut suku dua atau binomial»2x + 3y + 7 disebut suku tiga atau trinomial»Untuk bentuk aljabar yang tersusun atas lebih dari tiga suku dinamakan polinomialPada bentuk 2x + 4, bilangan 2 disebut koefisien, x disebut variabel, sedangkan 4 disebut dengan konstanta.
202Kelas VII SMP/MTsSemester 12 x+42 x+4SukuSukuKoefisienKonstantaVariabelDari ilustrasi tersebut, ungkapkan dengan bahasamu (jangan takut salah). Apakah yang dimaksud dengan:a.Koefisien?b.Variabel?c.Konstanta?Contoh3.1Sederhanakan bentuk aljabar4x + 9 – 5x – 2.PenyelesaianAlternatifKelompokkan suku-suku sejenis 4x + 9 – 5x – 2= 4x – 5x + 9 – 2 = (4 – 5)x + 7= –1x + 7–1x selanjutnya boleh hanya ditulis dengan –x, demikian juga 1x boleh hanya ditulis dengan x.Dengan demikian, bentuk sederhana dari 4x + 9 – 5x – 2 adalah –x + 7.Contoh3.2Sederhanakan bentuk aljabar2x + 3y + 4x – 5y.PenyelesaianAlternatifKelompokkan suku-suku sejenis 2x + 3y + 4x – 5y= 2x + 4x + 3y – 5y= (2 + 4)x + (3 – 5)yJumlahkan atau kurangkan koefisien suku-suku yang sejenis tersebut, menjadi: 2x + 3y + 4x – 5y= 6x – 2y
203MATEMATIKAContoh3.3Sederhanakan bentuk aljabar9a2 + 3ab – 7b2 – 12a2 + 6ab + 2b2.PenyelesaianAlternatif9a2 + 3ab – 7b2 – 12a2 + 6ab + 2b2= (9 – 12)a2 + (3 + 6)ab + (–7 + 2)b2= –3a2 + 9ab – 5b2Ayo KitaMencobaSetelah kalian melakukan kegiatan menggali informasi, sekarang coba diskusikan permasalahan lain yang terdapat pada kasus berikut.1.Pak Tohir memiliki dua jenis hewan ternak, yaitu sapi dan ayam. Banyaknya sapi dan ayam yang dimiliki Pak Tohir secara berturut-turut adalah 27 sapi dan 1.500 ayam. Seluruh sapi dan ayam tersebut akan dijual kepada seorang pedagang ternak. Jika harga satu sapi dinyatakan dengan x rupiah dan harga satu ayam dinyatakan dengan y rupiah, tuliskan bentuk aljabar harga hewan ternak Pak Tohir.2.Tiga orang siswa menyederhanakan bentuk aljabar 3p – 4p. Masing-masing dari mereka memperoleh hasil –1, –p, dan –1p. Tulislah jawaban manakah yang benar dan jelaskan alasan kalian.3.Tulislah tiga bentuk aljabar yang merupakan binomial atau suku dua. Jelaskan mengapa ketiga bentuk tersebut disebut binomial.Ayo KitaMenalarSetelah kalian melakukan kegiatan mengamati dan menggali informasi, sekarang coba diskusikan permasalahan yang terdapat pada kasus berikut.1.Pada kasus Tabel 3.1, seandainya Pak Tohir membeli lagi 4 kardus buku. Bagaimanakah bentuk aljabarnya?
204Kelas VII SMP/MTsSemester 12.Kemudian perhatikan kembali Tabel 3.2.a.Kesimpulan apa yang dapat kalian ambil dari hasil pengamatan pada tabel tersebut?b.Pada tabel tersebut variabel x untuk menyatakan banyak bola dalam suatu kotak, dan variabel y untuk menyatakan banyak bola dalam suatu tabung. Mungkinkah kita membuat gambar yang menyatakan 2x − 3? Jelaskan. Jika mungkin, tunjukkan. Ayo KitaBerbagiSetelah selesai menjawab, bandingkan jawaban tersebut dengan jawaban teman sebangku. Periksa apakah permasalahan dan jawaban yang ditemukan sudah benar.Ayo Kita!?!?Berlatih3.1Untuk soal nomor 1 sampai 3, sajikan permasalahan tersebut dalam bentuk aljabar. Jelaskan makna variabel yang kalian gunakan.1.Suatu ketika Pak Veri membeli dua karung beras untuk kebutuhan hajatan di rumahnya. Setelah dibawa pulang, istri Pak Veri merasa beras yang dibeli kurang. Kemudian Pak Veri membeli lagi sebanyak 5 kg. Nyatakan bentuk aljabar dari beras yang dibeli Pak Veri.2.Pak Deni membeli tiga gelondong kain untuk keperluan menjahit baju seragam pesanan sekolah SMP Semangat 45. Setelah semua seragam berhasil dijahit, ternyata kain masih tersisa 4 meter. Nyatakan bentuk aljabar kain yang digunakan untuk menjahit.3.Bu Niluh seorang pengusaha kue. Suatu ketika Bu Niluh mendapat pesanan untuk membuat berbagai macam kue dalam jumlah yang banyak. Bahan yang harus dibeli Bu Niluh adalah dua karung tepung, sekarung kelapa, dan lima krat telur. Nyatakan bentuk aljabar harga semua bahan yang dibeli oleh Bu Niluh.
205MATEMATIKA4.Ibu Sunaida memberikan uang kepada Wafi sebesar Rp70.000,00. Setiap hari Wafi mengeluarkan uangnya sebesar Rp9.000,00. Bagaimanakah bentuk aljabar dari sisa uang Wafi setiap harinya?5.Perhatikan denah berikut!Denah tersebut menunjukkan jalur angkutan umum dalam suatu kota. Nyatakan rute berikut dalam bentuk aljabar.a.1 – 2 – 3 – 4b.1 – 6 – 5 - 4 Apakah kedua rute tersebut sama? Jelaskan.Carilah dan ceritakan contoh nyata dalam kehidupan sehari-hari yang serupa dengan masalah tersebut.6.Di antara ketiga gambar berikut, manakah yang memiliki keliling terpanjang? Jelaskan.yxabcd(c)yx(a)py(d)prsrqxyaabb(b)x52yx
206Kelas VII SMP/MTsSemester 17.Gunakan variabel x dan y untuk menuliskan bentuk aljabar dari setiap kalimat berikut.a.Aku adalah suatu bilangan. Jika aku dikalikan 2 kemudian dikurangi 5 akan menghasilkan bilangan 9b.Ukuran panjang dari persegi panjang 10 cm lebih dari ukuran panjang persegic.Delapan merupakan lebihnya dari keliling suatu persegid.Umur Pak Tohir tiga kali umurnya Udin, sedangkan 10 tahun yang akan datang jumlah umur mereka adalah 72 tahun8.Buatlah suatu cerita yang bermakna bentuk aljabar 4x + 8. Perjelas makna variabel dari cerita yang kalian buat.9.Buat suatu bentuk aljabar yang memiliki koefisien 2 dan konstanta –13. Buat suatu cerita yang hasilnya adalah bentuk aljabar tersebut.10.Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut ini.a.5a + 7b.4x2y + 3x2 – 6y + 2 c.9x3 – 3x3y2 – 4x3 + 12y2 + 6x2y3 – y2 – 5 11.Tentukanlah suku, variabel, koefisien, dan konstanta dari bentuk-bentuk aljabar berikut.a.9xb.3x2 + 6y + 2c.2s2 + 3a + 4a3 + 5t4 – 7 12.Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut ini.a.9k + 8m – 4km – 15k + 7kmb.7p2 – 8p2q – 11p2 + p2q + 12 pq2 13.Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.a.5x – 3x b.9 + 4x – 1c.4x – 8x + 12d.7 – 2x – x + 5 e.3x2 + 3y2 – 5xy + 2x2 – 5y2 + 6xy14.Tulislah bentuk aljabar yang memuat 4 suku dan dapat disederhanakan menjadi 2 suku
207MATEMATIKAegiatanK 3.2Memahami Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AljabarBanyak sekali masalah sehari-hari yang berkaitan dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, entah hal itu kalian sadari atau tidak. Misalkan dalam dunia perbankan, perdagangan di pasar, dan produksi suatu perusahaan. Berikut disajikan salah satu contoh tentang permasalahan dalam dunia perdagangan. Masalah3.2Pak Madhuri merupakan seorang pemborong beras yang sukses di desa DempoTimur. Pak Madhuri mendapatkan pesanan dari Pedagang pasar Pasean dan Waru di hari yang bersamaan. Pedagang pasar Pasean memesan 15 karung beras, sedangkan pedagang pasar Waru memesan 20 karung beras. Beras yang sekarang tersedia di gudang Pak Madhuri hanya 17 karung beras saja.Misalkan x adalah massa tiap karung beras. Nyatakan dalam bentuk aljabar:a.Total beras yang dipesan kepada Pak Madhuri.b.Sisa beras yang ada di gudang Pak Madhuri jika memenuhi pesanan pedagang pasar Pasean saja.c.Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Madhuri jika memenuhi pesanan pedagang pasar Waru saja.Alternatif Pemecahan MasalahAyoKita Amatia.Total beras yang dipesan kepada Pak Madhuri adalah 15x + 20x atau 35xkilogram beras.b.Jika Pak Madhuri memenuhi pesanan pedagang pasar Pasean saja, maka sisa beras adalah 2 karung beras atau 2x kilogram beras.c.Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Madhuri untuk memenuhi pesanan Pedagang pasar Waru adalah 3 karung beras atau (−3x) kilogram beras. (tanda negatif menyatakan kekurangan)
208Kelas VII SMP/MTsSemester 1Pada cerita pengantar tersebut terdapat operasi antara dua bentuk aljabar, yaitu:1.Penjumlahan (15x) + (20x) = 35x2.Pengurangan (17x) − (15x) = 2x3.Pengurangan (17x) − (20x) = −3xBentuk 17x − 15x bisa juga ditulis penjumlahan dua bentuk aljabar (17x) − (15x)Untuk mempelajari lebih lanjut tentang penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, marilah kita amati dan lengkapi beberapa penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar pada Tabel 3.3 berikut. Tabel 3.3 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AljabarNo.ABA + BB + AA − BB − A12x3x5x5x−xx2x + 2x + 72x + 92x + 9−553x + 13x + 84x + 94x + 9− 2x − 92x + 743x − 22x − 4......x + 2−x− 262x − 1 1 − xxx......73x2x + 1......x− 1−x + 1852x – 4...2x + 1−2x + 9...Ayo KitaMenanya??Setelah kalian mengamati pada Tabel 3.3, tuliskan pada buku tulismu pertanyaan yang berkaitan dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar. Mungkin kalian bertanya dua hal berikut.1.Bagaimana langkah-langkah menjumlahkan atau mengurangkan bentuk aljabar?2.Apa syaratnya agar antarsuku bisa dijumlahkan atau dikurangkan?Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata “bentuk aljabar”, “penjumlahan”, atau “pengurangan”.
209MATEMATIKAAyo KitaMenggali Informasi+=+Perusahaan X mengemas kelereng-kelereng ke dalam kotak-kotak, yaitu kotak merah dan kotak putih.Wafi memiliki 15 kotak merah dan 9 kotak putih. Kotak-kotak tersebut berisi kelereng. Jika banyak kelereng di kotak merah dinyatakan dengan xdan banyaknya kelereng di kotak putih dinyatakan dengan y, maka banyak kelereng di kedua kotak dinyatakan dengan 15x + 9y.Keterangan:Banyak kelereng dalam setiap kotak merah sama.Banyak kelereng dalam setiap kotak putih sama.Jika Wafi diberi kakaknya 7 kotak merah dan 3 kotak putih, maka Wafi sekarang mendapatkan tambahan kelereng sebanyak 7x + 3y. Dengan demikian, Wafi sekarang memiliki (15x + 9y) + (7x + 3y) kelereng. Bentuk (15x + 9y) + (7x+ 3y) sama dengan 22x + 12y yang diperoleh dengan cara menjumlahkan kotak-kotak yang warnanya sama. Bentuk (15x + 9y) + (7x + 3y) = 22x + 12ydisebut penjumlahan bentuk aljabar. Karena Wafi memberikan 6 kotak merah dan 9 kotak putih kepada adiknya, maka kelereng yang dimiliki Wafi berkurang sebanyak 6x + 9y kelereng.Dengan kata lain, kelereng yang dimiliki Wafi sekarang adalah (22x + 12y) −(6x + 9y) kelereng. Bentuk ini sama dengan 16x + 3y yang diperoleh dengan cara mengurangkan kotak-kotak yang warnanya sama. Bentuk (22x + 12y) −(6x + 9y) = 16x + 3y disebut pengurangan bentuk aljabar.Selanjutnya, marilah kita perhatikan suku-suku sejenis dalam bentuk aljabar pada Tabel 3.4 berikut.Tabel 3.4 Suku-suku sejenisNo.Bentuk AljabarSuku-suku sejenis115x + 9y + 7x + 3y•15x dan 7x•9y dan 3y 222x + 12y− 6x− 9y•22x dan –6x•12y dan –9y Berikut disajikan beberapa contoh permasalahan tentang penjumlahan dan pengurangan dalam bentuk aljabar.
210Kelas VII SMP/MTsSemester 1Contoh3.4Tentukan penjumlahan 7a + 4b dengan 8a − 6b.PenyelesaianAlternatif(7a + 4b) + (8a − 6b)= 7a + 4b + 8a + (–6b)jabarkan= 7a + 8a + 4b + (–6b)kumpulkan suku sejenis= 15a + (−2b)operasikan suku sejenis= 15a − 2bsederhanakanContoh3.5Tentukan pengurangan 7a + 4b oleh 8a − 6b.PenyelesaianAlternatif(7a + 4b) − (8a − 6b)= 7a + 4b – 8a − (−6b)jabarkan= 7a −8a + 4b + 6bkumpulkan suku sejenis= −a + 10boperasikan suku sejenisContoh3.6Tentukan penjumlahan 16a − 12b + 4 oleh 5a − 9b + 2c.PenyelesaianAlternatif(16a −12b + 4) + ( 5a – 9b + 2c) = 16a − 12b + 4 + 5a + (−9b) + 2cjabarkan= 16a + 5a −12b −9b + 2c + 4 kumpulkan suku sejenis= 21a − 21b + 2c + 4 operasikan suku sejenis
211MATEMATIKAContoh3.7Kurangkan 3x + 4y dengan 5x – 6yPenyelesaianAlternatif(3x + 4y) – (5x – 6y)= 3x + 4y – 5x + 6yjabarkan berdasarkan soal= 3x – 5x + 4y + 6ykumpulkan suku sejenis= –2x + 10yoperasikan suku sejenisContoh3.8Kurangkan 2p – 5 dari 10p + 11PenyelesaianAlternatif(10p + 11) – (2p – 5)= 10p + 11 – 2p + 5jabarkan berdasarkan soal= 10p – 2p + 11 + 5kumpulkan suku sejenis= 8p + 16operasikan suku sejenisCoba temukan dua bentuk aljabar yang hasil penjumlahan atau pengurangannya adalah (3x – 8).Ayo KitaMencobaKemudian setelah kalian melakukan kegiatan menggali informasi, marilah kita mencoba untuk menyelesaikan soal-soal berikut.
212Kelas VII SMP/MTsSemester 11.Tuliskan bilangan dan bentuk aljabar yang hilang di kotak kosong berikut ini.a.7891011125913172125+=b. −45 − 3n25216 + 5n−−== 6 + 5n− 5 − 3n ...2.Tentukan penjumlahan bentuk aljabar berikut!a.−3m + 4n− 6 dengan 7n− 8m + 10b.15a + 7b− 5c dengan −11a− 12b + 13d3.Tentukan pengurangan bentuk aljabar berikut!a.−3m + 4n− 6 oleh 7n− 8m + 10b.15a + 7b− 5c oleh −11a− 12b + 13d4.Tentukan hasil dari 5x− 6y + 8z + (7x− 9z) − (2y + 9z− 10)Tuliskan prosedur penjumlahan dan pengurang bentuk aljabar yang kalian lakukan. Jelaskan mengapa hasilnya seperti itu.
213MATEMATIKAAyo KitaMenalarSetelah kalian melakukan kegiatan mengamati dan menggali informasi di atas, sekarang coba diskusikan permasalahan yang terdapat pada kasus berikut.Perhatikan kembali pada Masalah 3.2. Jika diketahui pesanan dari pedagang pasar Pasean dan Waru pada hari yang bersamaan masih kurang 7 hari lagi, maka Pak Madhuri tidak akan khawatir lagi walaupun beras yang tersedia di gudang hanya sebanyak 17 karung beras. Karena, setiap dua hari Pak Madhuri selalu mendapatkan pemasukan beras sebanyak 7 karung beras. Oleh karena itu dalam 7 hari ke depan isi gudang akan mendapatkan tambahan sebanyak 21 karung beras. Dengan tambahan 21 karung beras pada hari yang ke-7, nanti masih ada sisa beras di gudang sebanyak 3 karung beras. Setelah pada hari itu pesanan dari pedagang pasar Pasean masih berlanjut, yaitu setiap 3 hari sekali selalu memesan sebanyak 5 karung beras. Begitu juga pesanan dari pedagang pasar Waru masih berlanjut dengan aturan yang berbeda, yaitu setiap 5 hari sekali selalu memesan sebanyak 10 karung beras.Berdasarkan kasus di atas, coba diskusikan dengan teman kelompok kalian tigal hal berikut.1.Berapa hari paling cepat Pak Madhuri mendapatkan pesanan lagi dari pedagang pasar Pasean dan Waru di hari yang bersamaan? Jelaskan.2.Pada hari yang keberapa Pak Madhuri kehabisan stok karung beras di gudang? Jelaskan.3.Mungkinkah Pak Madhuri mengamali kekurangan stok karung beras di gudang? Hari yang keberapa itu dan strategi apa yang dilakukan oleh Pak Madhuri supaya tidak kehabisan stok karung beras di gudangnya? Jelaskan.Ayo KitaBerbagiPresentasikan prosedur dan penjelasan yang kalian buat. Kemudian, bandingkan dengan hasil teman kalian yang lain. Silakan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat.
214Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo Kita!?!?Berlatih3.21.Tuliskan bilangan dan bentuk aljabar yang hilang di kotak kosong berikut ini.a.61014182226 6 12 18243036−=b.5 − 3n6 − 5n−=6 − 5n− (5 − 3n) = ...2.Tentukan hasil penjumlahan bentuk aljabar berikut.a.(13a − 8b) + (21a + 9b) = ...b.(15i − 14j + 13k) + (−30i − 45j + 51k) = ...c.(3x − 17y + 35z) + (4x + 23y −9z) = ...
215MATEMATIKA3.Tentukan hasil pengurangan bentuk aljabar berikuta.(42n + 35m + 7) − (−50m − 20n + 9) = ...b.(5x + 3) − (x − 1) = ...c.(2y + 15z) − (4y − 8) = ...4.Tentukan hasil pengurangan 5z + 3 oleh 2z − 7 5.Tentukan hasil pengurangan 6x + 4 oleh x − y.6.Kurangkanlah:a.5x − 9 dengan 7x + 15yb.5x − 3y + 7 dari 5y − 3x −4c.−x2 − 6xy + 3y2 dari 5x2 − 9xy −4y2 7.Nyatakan keliling bangun datar berikut dalam bentuk aljabaraa.abb.aaaac.abdcd.8.Sebuah segitiga memiliki ukuran panjang sisi terpendek (2x – 5) cm dan panjang sisi terpanjang (3x + 6) cm. Jika panjang sisi sisanya (x + 6), maka tentukan keliling segitiga tersebut.
216Kelas VII SMP/MTsSemester 19.Tuliskan bentuk aljabar yang hilang di setiap lingkaran kosong berikut.5 − 2x4 + 6x......+...+3x −7−Perkalian Bentuk AljabarAyoKita AmatiMasalah3.3Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi dan Pak Tohir mempunyai kebun jeruk berbentuk persegi panjang. Ukuran panjang kebun jeruk Pak Tohir 20 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Sedangkan lebarnya, 15 m kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Jika diketah i kedua luas kebun Pak Idris dan Pak Tohir adalah sama, maka tentukan luas kebun apel Pak Idris?egiatanK 3.3Memahami Perkalian Bentuk Aljabaru
217MATEMATIKAAlternatif Pemecahan MasalahUntuk memecahkan persoalan tersebut bisa dengan memisalkan panjang sisi kebun apel Pak Idris dengan suatu variabel, misal variabel x. Panjang kebun jeruk Pak Tohir 20 meter lebih panjang dari panjang sisi kebun apel bisa ditulis x + 20. Lebarnya 15 meter kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris bisa ditulis x − 15. Seperti yang kita ketahui bahwa luas persegi panjang adalah panjang × lebar. Namun dalam permasalahan menentukan panjang sisi kebun tersebut, kita sedikit mengalami kesulitan karena yang dikalikan adalah bentuk aljabar. Dalam permasalah tersebut luas kebun Pak Tohir adalah hasil kali dari x + 20 dengan x − 15.Luas kebun Pak Tohir dapat ditulis dalam bentuk aljabarLuas = panjang × lebar= (x + 20) × (x − 15)= x2− 15x + 20x − 300= x2 + 5x − 300 satuan luasSelain dengan cara tersebut, kita bisa menentukan luas kebun Pak Tohir dengan cara perkalian bersusun seperti berikut.x + 20x − 15×+−15x – 300x2 + 20xx2 + 5x − 300Jadi, luas kebun Pak Tohir adalah x2 + 5x − 300 satuan luas.Dari kedua cara tersebut, silakan menggunakan cara yang menurut kalian paling mudah.Karena diketahui luas kebun apel Pak Idris sama dengan luas kebun jeruk Pak Tohir, maka didapat:Luas kebun apel Pak Idris= Luas kebun jeruk pak Tohir(x)2= x2 + 5x – 300x2= x2 + 5x – 300x2 – x2= 5x – 3000= 5x – 3005x= 300x= 60Jadi, luas kebun apel Pak Idris adalah (x)2 = (60)2 = 3.600 satuan luas.
218Kelas VII SMP/MTsSemester 1Untuk lebih memahami tentang perkalian bentuk aljabar, amati perkalian bentuk-bentuk aljabar pada Tabel 3.5 berikut. Kemudian lengkapi isi tabel yang masih kosong.Tabel 3.5 Perkalian Bentuk AljabarNo.ABA × BKeterangan1.5x + 105x + 50(5 ×x) + (5 × 10) = 5x + 502.7x – 37x – 21(7 ×x) + (7 × (−3) = 7x −213.x + 10x + 3x2 + 13x + 30(x × x) + (x ×3) + (10 × x) + (10 × 3)= x2 +3x + 10x + 30= x2 +13x + 304.x − 2x + 7x2 + 5x −14(x × x) + (x × 7) + (−2) × x + (−2) × 7= x2 +7x −2.x −14= x2 + 5x −145.x + 1 3x − 83x2 − 5x −8x × (3x) + x × (−8) + 1 × (3x) + 1 × (−8)= 3x2 − 8x + 3x −8= 6x2 − 5x −86. 3x − 22x − 46x2 − 16x + 8(3x)(2x) + (3x)(-4) + (−2)(2x) + (−2)(-4)= 6x2 − 12x −4x + 8= 6x2 − 16x + 87. 2x − 1 1 − x−2x2 + 3x −1(2x) × 1 + (2x)(−x) + (−1) × 1 + (−1)(−x)= 2x − 2x2−1 + x= −2x2 + 3x −18.x2 + 4x3x − 73x2 + 5x −28x(x2)(3x) + (x2)(−7) + (4x)(3x) + (4x)(−7)= 3x3 − 7x2 + 12x2−28x = 3x3 + 5x2−28x9x + ax + b......Secara umum hasil perkalian bentuk aljabar (x + a) × (x + b) mengikuti proses berikut.(x + a) × (x + b).
219MATEMATIKAAyo KitaMenanya??Berdasarkan hasil pengamatan kalian, buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan perkalian bentuk aljabar, mungkin kalian bertanya dua hal berikut.1.Bagaimana cara mengalikan suku-suku bentuk aljabar?2.Adakah cara singkat untuk mengalikan dua suku bentuk aljabar?Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata “perkalian” dan “dua suku”.Ayo KitaMenggali Informasi+=+Mengenal Sifat-sifat Operasi Hitung Bentuk AljabarContoh3.9Hasil kali dari 5 × (x + 10) adalah 5x + 50 atau bentuk 5x + 50 dapat juga ditulis 5 × (x + 10) Contoh3.10Hasil kali dari (x + 10) × (x + 3) adalah x2 + 13x + 30 atau bentuk x2 + 13x + 30 dapat juga ditulis (x + 10) × (x + 3) Contoh3.11Hasil kali dari (x + 1) × (x + 2) × (x + 3) adalah x3 + 6x2 + 11x +6atau bentuk x3 + 6x2 + 11x +6 dapat juga ditulis (x + 1) × (x + 2) × (x + 3)Operasi penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar memiliki beberapa sifat, antara lain:1.Sifat Komutatifa + b = b + aa × b = b × a (Sudah ditunjukkan di depan)
220Kelas VII SMP/MTsSemester 12.Sifat Asosiatifa + (b + c)= (a + b)+ ca × (b × c)= (a × b)× c (Silakan cek)3.Sifat Distributif (perkalian terhadap penjumlahan)a × (b + c)= a × b + a × c atau a(b + c)= ab + ac b + ca(b + c)aaabacbcKemudian, coba temukan pada buku tertentu, internet, atau membuat sendiri tentang perpangkatan bentuk aljabar dengan menggunakan pola segitiga Pascal, contoh (a + b)2 dan (a – b)5.Ayo KitaMencobaSetelah kalian melakukan kegiatan mengamati dan menggali informasi, coba sekarang terapkan pada beberapa kasus berikut.1.Sederhanakan hasil kali bentuk aljabar daria.4(3a+2)b.(x + 3)(x – 2)c.(2x – 1)(x + 2y – 3)2.Tuliskan bilangan dan bentuk aljabar yang hilang di kotak kosong berikut ini.
221MATEMATIKA35791113 3 4 5678++====3 ×3 ×+ 2 ×+ 2 ×1 23.Tuliskan bentuk aljabar yang hilang di setiap lingkaran kosong berikut....3 + 2n4......3 −n6××+4.Jabarkan bentuk aljabar dari (2x + 3)3 dan (3x – 5y)4.Ayo KitaMenalarSetelah melakukan kegiatan pengamatan untuk menentukan hasil kali dari (x + a)( x + b) dan menuliskan hasilnya pada Tabel 3.5 di atas, kemudian perhatikan dan lengkapi Tabel 3.6 berikut ini.
222Kelas VII SMP/MTsSemester 1Tabel 3.6 Model Perkalian Bentuk AljabarNo.ABA × B(Dengan Rumus yang Ditemukan)A × B(Dengan Cara Singkat)1.x – 1x + 1x2 + (–1 + 1)x + (–1)x2– 12.x – 3x + 3x2 + (–3 + 3)x + (–3)(3)x2– 93.2x – 12x + 14x2 + (2 – 2)x + (–1)(1)4x2– 14.3x – 23x + 2......5.4x – 34x + 3......6.5x – 45x + 4......7.3x – 4y3x + 4y......8.3x – 5y3x + 5y......9.6x – 2y6x + 2y......10.ax – bax + b......Ayo KitaBerbagiPresentasikan hasil dari Kegiatan Menalar dan Mencoba semenarik mungkin. Diskusikan dalam kelompok kalian jika masih terdapat kesimpulan berbeda.1.Tentukan hasil kali dari bentuk-bentuk aljabar berikuta.10 × (2y − 10) = ...b.(x + 5) × (5x − 1) = ...c.(7 − 2x) × (2x − 7) = ...2.Tentukan nilai r pada persamaan bentuk aljabar (2x + 3y)(px + qy) = rx2 + 23xy + 12y2Ayo Kita!?!?Berlatih3.3
223MATEMATIKA3.Nyatakan luas bangun datar berikut dalam bentuk aljabar.c.2st3sa.aaaab.3a3b4.Tentukan dua bentuk aljabar yang bila dikalikan hasilnya adalah a.102 × 98b.1. 003 × 97c.2052d.38925.Bagaimana cara menentukan perpangkatan bentuk aljabar berikut? Jelaskan. a.(a + b)5b.(a + b + c)2, c.(a + b – c)2, d.(a – b + c)2, e.(a – b – c)26.Si A dan si B masing-masing menyimpan sebuah bilangan. Jika kedua bilangan yang mereka miliki dikalikan, hasilnya adalah 1.000. Setelah dihitung-hitung, ternyata selisih bilangan si A dan si B adalah 15. Berapakah jumlah dari bilangan-bilangan yang dimiliki keduanya?
224Kelas VII SMP/MTsSemester 1a.Nyatakan bentuk aljabar untuk yang diketahuib.Nyatakan bentuk aljabar untuk yang ditanyac.Nyatakan bentuk alajabar yang ditanya dalam bentuk aljabar yang diketahui7.Diketahui bahwa 1111...511411311211=+++++n. Berapakah nilai n yang memenuhi?a.Sederhanakan bilangan yang di dalam kurung.b.Amati pola perkalian beberapa bilangan awal.c.Dengan mengamati, tentukan nilai n yang yang memenuhi persamaan di atas. 8.Ketika tuan Felix dihadapkan dengan soal berbentuk 2.374 2.375 2.376 2.377 1×××+, dia tidak mengalikan satu persatu bilangan-bilangan yang ada, yang dia lakukan adalah menjumlahkan 2.374 dengan kuadrat dari 2.375. Benarkah jawabannya? Bisakah jawabannya dipertanggungjawabkan untuk setiap bentuk dengan pola seperti itu?9.Pikirkan sebuah bilangan dan jangan beritahu saya. Saya akan menebaknya. Tapi, lakukan dulu perintah saya berikut: (a) kalikan bilangan dalam pikiran kalian, (b) tambahkan 3 pada hasilnya, (c) kalikan 5 hasilnya, (d) tambahkan 85 pada hasilnya, (e) bagilah hasilnya dengan 10, (f) kurangkan hasil terakhirnya dengan 9. Maka aku bisa menebak bilangan kamu, yaitu 1 kurangnya dari bilangan terakhir yang kamu simpan di otak kalian. Buktikan bahwa tebakan tersebut berlaku untuk semua bilangan yang mungkin dipilih oleh teman-teman kalian.10.Persegipanjang ABCD berikut dibangun dari 13 persegi kecil yang kongruen. Luas persegi panjang ABCD adalah 520 cm2. Tentukan keliling dari persegi ABCD tersebut.ABCD
225MATEMATIKAPembagian Bentuk AljabaregiatanK 3.4Memahami Pembagian Bentuk AljabarPada tiga kegiatan sebelumnya, kalian telah membahas operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada bentuk aljabar. Pada kegiatan ini akan kita pelajari operasi pembagian bentuk aljabar. Operasi pembagian bentuk aljabar adalah lawan dari operasi perkalian bentuk aljabar. Sebelum mengikuti Kegiatan 3.4 lebih jauh, silakan kalian baca kembali masalah luas kebun Pak Idris dan Pak Tohir yang disajikan di pengamatan Kegiatan 3.3.Masalah3.4Jika informasi pada permasalahan tersebut diubah, yang diketahui adalah luas = x2 + 5x − 300 satuan luas, dan panjangnya = x + 20 satuan panjang, kalian diminta untuk menentuk bentuk aljabar dari lebarnya. Bagaimana langkah kalian untuk menentukan lebarnya?Alternatif Pemecahan MasalahAyoKita AmatiSeperti yang kita ketahui luas = panjang × lebar. Dapat kita tulisluaslebar = panjangLebar tanah Pak Tohir dapat ditentukan dengan membagi bentuk aljabar dari luas tanah dengan bentuk aljabar dari panjang.2530015,20 020xxlebarxxx+−==− +≠+dengan2530015,20 020xxlebarxxx+−==− +≠+Pada kegiatan tersebut, kita telah menentukan hasil bagi x2 + 5x + 300 oleh x+ 20 adalah x − 15. Bagaimana dengan bentuk yang lain.
226Kelas VII SMP/MTsSemester 1Misal :1. Hasil bagi 2x2 + 7x − 15 oleh x + 52. Hasil bagi 6x2 − 7x − 24 oleh 3x − 8Berikut proses membagi bentuk aljabar disajikan dalam Tabel 3.7.Tabel 3.7 Pembagian Bentuk AljabarLangkah-langkahPembagian Bentuk Aljabar (1)Hasil bagi x2 + 5x + 300 oleh x + 20KeteranganBerikut alternatif penyelesaiannya disajikan dalam bentuk pembagian bersusun yang disajikan langkah demi langkahLangkah 12205300x xx+ +−x2 + 5x – 300 dibagi x+20.Langkah 22205300xx xx+ +−x2 dibagi x sama dengan x.Langkah 32220530020xx xxxx+ +−+x dikali x sama dengan x2,x dikali 20 sama dengan 20x.Langkah 4222053002015300xx xxxxx+ +−+−−x2 dikurangi x2 sama dengan 0,5x dikurangi 20x sama dengan –15x,–300 dikurangi 0 sama dengan –300.Langkah 522152053002015300xx xxxxx−+ +−+−−–15x dibagi x sama dengan –15.
227MATEMATIKALangkah 62215205300201530015300xx xxxxxx−+ +−+−−−−–15 dikali x sama dengan –15x,–15 dikali 20 sama dengan –300.Langkah 722152053002015300153000xx xxxxxx−+ +−+−−−−–15x dikurangi –15xsama dengan 0,–300 dikurangi –300 sama dengan 0.Jadi, hasil bagi dari x2 + 5x – 300 oleh x + 20 adalah x – 15Tabel 3.8 Pembagian Bentuk AljabarPembagian Bentuk Aljabar (2)Pembagian Bentuk Aljabar (3)Tentukan hasil bagi dari2x2 + 7x – 15 oleh x + 5Tentukan hasil bagi dari6x2 – 7x – 24 oleh 3x – 8Alternatif Penyelesaian222352715210 315315 0xxxxxxxx−+ +−+−−−−− −Alternatif Penyelesaian2223386724616 924924 0xxxxxxxx+− −−−−−−−Jadi, hasil bagi dari 2x2 + 7x – 15 oleh x + 5 adalah 2x – 3 Jadi, hasil bagi 6x2 – 7x – 24 oleh 3x – 8 adalah 2x + 3
228Kelas VII SMP/MTsSemester 1Tabel 3.9 Pembagian Bentuk AljabarPembagian Bentuk Aljabar (4)Pembagian Bentuk Aljabar (5)Tentukan hasil bagi dari–3x2 – 5x + 2 oleh x + 2Tentukan hasil bagi dari2x2 – 13xy + 15y2 oleh x – 5yAlternatif Penyelesaian223123 5 235 22 0xxxxxxxx−++− − +−− −++−Alternatif Penyelesaian22222235 213152103153150xyxyxxyyxxyxyyxyy−− −+−−++−Jadi, hasil bagi dari –3x2 – 5x – 2 oleh x – 2 adalah –3x + 1 Jadi, hasil bagi 2x2 – 13xy + 15y2oleh x – 5y adalah 2x – 3yAyo KitaMenanya??Dari hasil pengamatan kalian terhadap ketiga contoh pada kegiatan ayo kita amati, adakah yang masih belum kalian pahami dari proses membagi bentuk aljabar dengan bentuk aljabar? Apakah pertanyaan kalian seperti berikut?1.Bagaimana jika pada pembagian bentuk aljabar sisanya tidak nol?2.Apakah setiap bentuk aljabar bisa dibagi dengan bentuk aljabar yang lain Sekarang cobalah buat pertanyaan yang serupa atau memuat kata “membagi” dan “bentuk aljabar”.SedikitInformasiUntuk memperdalam pemahaman kalian tentang pembagian bentuk aljabar, coba perhatikan dengan cermat uraian berikut.
229MATEMATIKAContoh3.12Tentukan hasil bagi dari (4x2 + 6x) oleh 2xPenyelesaianAlternatifDengan cara membagi bentuk (4x2 + 6x) dengan 2x kalian bisa menemukan bentuk aljabar suku dua lainnya.222324 64660xxx xxxx++Jadi, hasil bagi (4x2 + 6x) oleh (x + 2) adalah (2x + 3)Contoh3.13Tentukan hasil bagi dari (x2 + 7x + 10) oleh (x + 2).PenyelesaianAlternatifDengan cara membagi bentuk (x2 + 7x + 10) dengan (x + 2) kalian bisa menemukan bentuk aljabar suku dua lainnya.225271025105100xxxxxxxx++ +++++Jadi, hasil bagi (x2 + 7x + 10) oleh (x + 2) adalah (x + 5)
230Kelas VII SMP/MTsSemester 1“Pada pembagian bentuk aljabar tidak selalu bersisa 0. Berikut contoh pembagian bentuk aljabar yang sisanya bukan 0”.Contoh3.14Tentukan hasil bagi 2x2 + 3x − 4 oleh x + 3.PenyelesaianAlternatif2223323 426 34345xx xxxxxx−+ +−+−−−−Jadi, hasil bagi 2x2 + 3x − 4 oleh x + 3. adalah 2x − 3 dengan sisa 5.Ayo KitaMencoba1.Tentukan hasil bagi bentuk aljabar berikut.a.8x2 + 4x − 16 oleh 4b.x3 + 2x2 − 5x − 6 oleh x − 2c.x3 + 2x2 − 5x − 6 oleh x2 − x − 2d.3x3 − 5x2 − 12x + 20 oleh x2 − 42.Bentuk aljabar x2 − 7x − 44 jika dibagi suatu bentuk aljabar hasilnya adalah x + 4. Tentukan bentuk aljabar pembagi tersebut.3.Suatu bentuk aljabar memiliki tiga faktor, x + a, x + b, dan x + c . Tentukan hasilnya jika dibagi x + a.
231MATEMATIKAAyo KitaMenalarSetelah kalian melakukan kegiatan mengamati dan memahami sedikit informasi, sekarang coba diskusi jika diketahui hasil bagi bentuk aljabar Aoleh B adalah (x + 1). Tentukan kemungkinan bentuk aljabar A dan B yang dapat kalian temukan.Ayo KitaBerbagiPresentasikan hasil bernalarmu di depan kelas. Tanggapi jawaban dan kesimpulan yang diperoleh kelompok lain jika berbeda dengan jawaban dan kesimpulan kelompok kalian.1.Tentukan hasil bagi a.12x3 + 4x2 oleh 2x2b.x2 + 5x + 6 oleh x + 2c.2x2 − x − 10 oleh x + 2d.2x3 + 7x2 − 14x − 40 oleh 2x − 5e.3x3 − 4x2 − 5x + 6 oleh x + 22.Tentukan hasil bagi 4x + 6 oleh 2x + 83.Tentukan suatu bentuk aljabar yang menurutmu bisa dibagi oleh 3x − 1. Kemudian tentukan hasil baginya.4.Tentukan suatu bentuk aljabar dengan pangkat tertingginya 3, yang menurutmu bisa dibagi oleh 3x + 1. Kemudian tentukan hasil baginya.Ayo Kita!?!?Berlatih3.4
232Kelas VII SMP/MTsSemester 15.Nilai rata-rata ujian 5 orang siswa adalah 80. Andi yang kemudian menyusul ikut ujian mengatakan bahwa “Nilai rata-rata ujian kita berenam sekarang menjad 85”. Apakah ucapan Andi itu masuk akal kalau maksimal nilai ujian yang mungkin dicapai adalah 100? Mengapa?6.Bentuk aljabar x2 − 4x − 60 jika dibagi suatu bentuk aljabar hasilnya adalah x − 10. Tentukan bentuk aljabar pembagi tersebut.7.Tentukan bentuk aljabar yang bila dibagi x + 2 hasilnya adalah 2x − 6.8.Suatu bentuk aljabar memiliki tiga faktor, x + 3, x − 6, dan 2x + 7. Tentukan bentuk aljabar tersebut jika dibagi 6 − x.9.Diketahui hasil bagi bentuk aljabar A oleh B adalah (2x – 1). Tentukan kemungkinan bentuk aljabar A dan B yang dapat kalian temukanMateriPengayaanegiatanK 3.5Memahami Cara Menyederhanakan Pecahan Bentuk AljabarDalam bentuk aljabar juga ada bentuk aljabar pecahan, misal bentuk aljabar pada Latihan 3.4 soal nomor 2. Ketika kalian membagi 4x + 6 dengan 2x + 8 kalian tidak mendapatkan hasil seperti pada nomor 1 kegiatan 3.4. Dalam hal ini hasil baginya bisa disajikan dalam bentuk aljabar pecahan 8264++xx. Bentuk pecahan 8264++xx bisa kita ubah menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan cara membagi dua pembilang dan penyebutnya, menjadi 432++xx. Bentuk 432++xx dikatakan lebih sederhana karena mengandung bilangan-bilangan yang lebih sederhana (dekat dengan nol) dari bentuk sebelumnya. Namun,
233MATEMATIKAmemiliki nilai yang sama dengan bentuk 8264++xx. Selain itu, suatu bentuk aljabar dikatakan lebih sederhana jika mengandung operasi yang lebih sedikit.Misalkan ada permasalahan seperti berikut. Sederhanakan bentuk aljabar berikut!a.10833xx+b.4432axx−c.2 26312axxa−×d.xyxzyz÷Untuk memahami penyederhanaan bentuk aljabar di atas, mari kalian amati beberapa penyederhanaan bentuk aljabar berikut.AyoKita AmatiPerhatikan bentuk aljabar pada Tabel 3.10dan 3.11berikut. Untuk memahami proses penyederhanaan berikut, sebaiknya ingat kembali sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar.Tabel 3.10 Menyederhanakan Bentuk AljabarNo.Bentuk AljabarBentuk Sederhana1.242xx+1xx+2.36912xyx++244xyx++3244aabab++4a.
234Kelas VII SMP/MTsSemester 1Tabel 3.11 Mengoperasikan kemudian Menyederhanaan Bentuk AljabarNo.Bentuk Aljabar dioperasikan dengan Bentuk AljabarBentuk Sederhana1.10833xx+6x2.2412aa+−+( )( )632aaa−+3.4432axx−()463ax−4.2 26312axxa−×( )39xx−5.xyxzyz÷y2Ayo KitaMenanya??Berdasarkan hasil pengamatan kalian, tuliskan pertanyaan tentang hal yang masih belum kalian pahami dari kegiatan pengamatan.Pertanyaan kalian sebaiknya memuat kata “menyederhanakan” dan “bentuk aljabar”.SedikitInformasiUntuk mengetahui cara menyederhanakan pecahan bentuk aljabar perhatikan dan pahami uraian berikut.Contoh3.15Sederhanakan pembagian bentuk aljabar dari 18a2 : 6a
235MATEMATIKAPenyelesaianAlternatifCara untuk membagi bentuk aljabar dari 18a2 : 6a adalah sebagai berikut18a2 : 6a=2186aa= 2186aa= (3)(a)= 3aJadi, sederhana dari bentuk aljabar dari 18a2 : 6a adalah 3a.Contoh3.16Sederhanakan pembagian bentuk aljabar dari 48x5y4z : 12x3yPenyelesaianAlternatifCara untuk membagi bentuk aljabar dari 48x5y4z : 12x3y adalah sebagai berikut48x5y4z : 12x3y=5434812xyzxy= 54348121xyzxy = (4)(x2)(y3)(z)= 4x2y3zJadi, sederhana dari bentuk aljabar dari 48x5y4z : 12x3y adalah 4x2y3z.Contoh3.17Sederhanakan pembagian bentuk aljabar dari (4x2 + 6x) : 2x
236Kelas VII SMP/MTsSemester 1PenyelesaianAlternatifContoh 3.17 ini sama seperti Contoh 3.12. Untuk soal model seperti ini masih ada alternatif lain cara menentukan bentuk sederhananya. Kenapa? Coba pikirkan?Cara untuk membagi bentuk aljabar dari (4x2 + 6x) : 2x adalah sebagai berikut(4x2 + 6x) : 2x= 2462xxx+= 24622xxxx+= 24622xxxx + = (2)(x) + (3)(1)= 2x + 3Jadi, bentuk aljabar sederhana dari (4x2 + 6x) : 2x adalah 2x + 3Cara menyelesaikan operasi pecahan bentuk aljabar sama halnya dengan menyelesaikan operasi bentuk bilangan bulat, yaitu sebagai berikut.Tabel 3.12 Sifat-sifat Operasi Pecahan Bentuk AljabarPenjumlahan Pecahan Bentuk Aljabar(i) atau , dengan 0, 0acad bcacad bcbdbdbdbdbd+−+=−=≠ ≠(ii) atau , dengan 0, 0acad bcacad bcbdbdbdbdbd+−+=−=≠ ≠Contoh3.18Contoh3.191322xx+132x+422xx==5234xx−( )( )( )( )542334 43xx−206121220 612141276xxxxx= −−===
237MATEMATIKAPengurangan Pecahan Bentuk Aljabar( )(i) ii , dengan 0, 0, 0a c aca c a dbd cb d bdb d b c××=÷=×≠ ≠ ≠×Contoh3.20Contoh3.21241476mm×241476mm×4211818×=×==334aabb÷334abba×2224114aba×=×== 4a2b2Ayo KitaMencobaBerdasarkan pada pengamatan di atas dan hasil informasi yang kalian dapatkan, sederhanakan dari bentuk aljabar berikut.1.5322xx+2.( )( )3223xx++−3.4531xx−+−Ayo KitaMenalar1.Jelaskan bagaimana langkah-langkah menyederhanakan pecahan bentuk aljabar!2.Apakah terdapat perbedaan cara menyederhanakan operasi pecahan bilangan bulat dengan operasi pecahan bentuk aljabar ada perbedaannya? Jelaskan.3.Buatlah kesimpulan tentang bagaimana suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana!4.2 26312axxyxa−×5.( )( )12333 3xx x÷−+ +6.1234xy xyxy xy−+−+−+
238Kelas VII SMP/MTsSemester 1Ayo KitaBerbagiSajikan jawaban kalian semenarik dan sejelas mungkin. Bandingkan dengan jawaban teman kalian. Lalu presentasikan di depan kelas.Ayo Kita!?!?Berlatih3.5Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.1.33b bxcxc−−2.33b bxcxc−−3.3311xx++−4.xyxy xy++−5.4432axx−6.( )( )2332xx−+−7.3426xxxx−×8.2abbcac÷9.231836x yxyz÷10.22xyxyxyyx+++
239MATEMATIKAPada pertemuan ini guru kalian akan memberi permainan tebakan tanggal lahir. Guru meminta kalian untuk mengikuti instruksi berikut.1.Mengalikan tangga lahir dengan 52.Menambahkan hasilnya dengan 93.Mengalikan hasilnya dengan 44.Menambahkan hasilnya dengan 85.Mengalikan hasilnya dengan 56.Menambahkan dengan bulan lahirProjek a.Cari tahu bagaimana cara guru kalian menebak tanggal lahir kalian dengan tepat.b.Buatlah tebakan lain dengan aturan berbeda itu misal tentang tanggal lahir, nomor hp, sebarang bilangan, atau yang lain.c.Terapkan tebakan yang kalian buat untuk menguji kebenaran aturan tebakan yang kalian buat.Ayo KitaMengerjakanTugas Projek3Tuliskan hal-hal penting yang telah kalian dapatkan pada Bab 3 Bentuk Aljabar.Minimal rangkuman kalian adalah jawaban dari pertanyaan berikut:1.Apa yang dimaksud dengan variabel, koefisien, dan konstanta? Buatlah contoh untuk menjelaskan jawaban kalian.2.Bagaimana cara menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, membagi bentuk aljabar? Jelaskan.3.Apa yang kalian ketahui tentang operasi hitung bentuk aljabar? Jelaskan.4.Bagaimana cara menyederhanakan bentuk aljabar? Jelaskan.5.Bagaimana cara menyederhanakan pecahan bentuk aljabar? Jelaskan.Ayo KitaMerangkum3
240Kelas VII SMP/MTsSemester 1UjiKompetensi+=+??3A. Soal Pilihan Ganda1.Suku-suku yang sejenis dari bentuk aljabar 6x2 + 6xy – 4y2 – 7x2 + 2xy+ 2y2 adalah ....a..6x2 dan 6xyc.–4y2 dan 2xyb.6xy dan 2xyd.6x2 dan –4y22.Bentuk sederhana dari 9y2 – 4xy + 5y + 7y2 + 3xy adalah ...a.16y2 + xy + 5yc.16y2 – 7xy + 5yb.5y2 + 4xy + 8yd.9y2 – 7xy + 5y3.Bentuk sederhana dari –2(2x2 + 3x – 4) adalah ...a.–2x2 + 6x – 8c.–4x2 + 6x – 8b.– 4x2 – 6x + 8d.– 4x2 – 6x – 84.Jumlah 6x − 5y − 2z dan −8x + 6y + 9z adalah ...a.2x – y – 8zc.–2x + y + 7zb.2x – 11y – 11zd.–2x + y + 7z5.Kurangkan 5x – 3y +7 dari 5y – 3x – 4, maka hasilnya adalah ...a.–6y + 11c.–8x + 8y – 11b.8x + 8y – 11 d.8x – 8y + 116.Bentuk sederhana dari perkalian suku (2x–3)(x+5) adalah ...a.2x2 – 13x – 15 c.2x2 + 13x + 15 b.2x2 – 7x + 15 d.2x2 + 7x – 15 7.Hasil pemangkatan dari (2x + y)3 adalah ...a.2x3 + 12x2y + 6xy2 + y3c.8x3 + 6x2y + 6xy2 + y3b.6x3 + 12x2y + 6xy2 + y3d.8x3 + 12x2y + 6xy2 + y38.Bentuk sederhana dari (3y3 × 4y4) : 6y5 adalah ...a.2y7c.y2b.2y2d.2y12
241MATEMATIKA9.Hasil bagi 4x2 + 16x + 15 oleh (2x + 5) adalah ...a.2x + 3c.2x + 7b.2x + 5d.2x + 1510.Bentuk sederhana dari 2612xy− adalah ...a.22xy−c.66xy−b.32xy−d.36xy−11.Bentuk sederhana dari 323yxy−+adalah ...a.23 266yxy+−c.232yxy+−b.2312yxy+−d.2336yxy+−12.Bentuk sederhana dari 2323xx−++adalah ...a.( )( )51223xxx+++c.( )( )1223xxx−+++b.251223xxx+++d.256xxx−++13.Bentuk sederhana dari 23924abbcac÷ adalah ...a.223abc.32278bcb.23acbd.234ab
242Kelas VII SMP/MTsSemester 114.Bentuk sederhana dari bentuk aljabar ( )()143 26xx+++ adalah ...a.( )13x+c.( )33x+b.( )23x+d.()526x+15.Bentuk sederhana dari bentuk aljabar 22xyyxyxxy−− adalah ...a.12c.14b.−12d.−1416.Diketahui bahwa 111111113456 −−−− ...1120152016tt−−= n −20132016Nilai n adalah ....a.12c.20132016b.1d.2015201617.Jumlah dua buah bilangan yang berbeda adalah 6 dan hasil kali kedua bilangan tersebut adalah 4. Kuadrat jumlah kedua bilangan itu adalaha.24c.26b.25d.2818.Bu Marhawi membeli 14 kg tepung, 17 kg wortel, dan 4 kg tomat. Karena terlalu lama disimpan, 4 kg tepung, 3 kg wortel, dan 3 kg tomat ternyata rusak/busuk. Jika harga tepung, wortel, dan tomat secara berurutan adalah x rupiah, y rupiah, dan z rupiah, maka harga barang Bu Marhami yang tersisa tersebut dalam bentuk aljabar adalah .....
243MATEMATIKAa.10x + 14y + zc.10x + 20y + zb.10x + 14y + 7zd.18x + 20y + 7z19.Arman mempunyai 5 robot dan 8 mobil-mobilan. Jika Arman diberi 2 robot oleh ibu, sedangkan 3 mobil-mobilannya ia berikan kepada Arif. Bentuk aljabar dari robot dan mobil-mobilan yang dimiliki Arman sekarang adalah ....a.5x + 8yc.7x + 2yb.5x + 2y d.7x + 8y20.Pak Tohir memiliki sebidang tanah berbentuk persegi dengan sisi-sisinya (10 – x) m. Di tanah tersebut ia akan membuat kolam ikan berbentuk persegi dengan sisi-sisinya (8 – x) m. Jika ia menyisakan tanah itu seluas 28 m2, maka luas tanah Pak Tohir sebenarnya adalah ....a.36 m2c.64 m2b.49 m2d.81 m2B. Soal Uraian1.Perhatikan bentuk aljabar 2x2 + 13x – 7 a.Terdiri dari berapa suku bentuk aljabar tersebut? Sebutkan masing-masing sukunya.b.Sebutkan koefisien dari x2.c.Sebutkan koefisien dari x.d.Adakah konstanta dari bentuk aljabar tersebut? Sebutkan.2.Tuliskan bentuk aljabar yang hilang di setiap lingkaran kosong berikut7 − 5x−8 + 15m...........+......+10−6m−3.Tentukan bentuk paling sederhana dari bentuk aljabar berikut.a.( )( )( )573 33x xx++ −+c.b.( )( )( )6822 2xxx+−+ −( )( )( )( )11111aabbbaab−−−−−−
244Kelas VII SMP/MTsSemester 14.Nyatakan keliling dan luas bangun berikut dalam bentuk aljabar!rrd.aaabbb.a.yyxyzzc.5.Jika diketahui x + y = 12. Nyatakan keliling dan luas daerah berikut dalam bentuk aljabar.6.Seorang anak merahasiakan tiga bilangan. Dia hanya memberitahukan jumlah dari masing-masing tiga bilangan tersebut secara berturut-turut adalah 28, 36, 44. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut.7.Misalkan m dan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi 7411=+nm Nilai 22nm+ adalah ...8.Diketahui bilangan bulat positif n memiliki sifat-sifat berikut. 2 membagi n, 3 membagi n + 1, 4 membagi n + 2, 5 membagi n + 3, 6 membagi n + 4, 7 membagi n + 5, dan 8 membagi n + 6. Bilangan bulat positif pertarna yang memiliki sifat-sifat ini adalah 2. Tentukan bilangan bulat positif ke-4 yang memenuhi sifat-sifat tersebut.9.Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersisa 3. Jika bilangan x–3ydibagi 4, maka bersisa...10.Dua bilangan jumlahnya 30. Hasil kalinya 200. Akan dicari selisihnya tanpa menghitung bilangan tersebut.a.Nyatakan yang diketahui dalam bentuk aljabar.b.Nyatakan yang ditanya dalam bentuk aljabar.c.Nyatakan hubungan bentuk aljabar yang ditanya dengan bentuk aljabar yang diketahui.xxxxxxyyyyy